Lý Thuyết Đại Cương Về Phương Trình
Tổng hợp lí thuyết đại cương về phương trình đầy đủ, ngắn gọn dễ hiểu.
I. Khái niệm phương trình
- Phương trình một ẩn
+ Phương trình ẩn xx là mệnh đề chứa biến có dạng:
f(x) = g(x)f(x) = g(x) (1)
trong đó f(x),g(x)f(x),g(x) là các biểu thức của xx. Ta gọi f(x)f(x) là vế trái, g(x)g(x) là vế phải của phương trình (1).
+ Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của ẩn xx để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
+ Nếu có số x0x0 thỏa mãn ĐKXĐ và f(x0)=g(x0)f(x0)=g(x0) là mệnh đề đúng thì ta nói x0x0 là nghiệm đúng phương trình (1) hay x0x0 là một nghiệm của phương trình (1).
Nếu phương trình không có nghiệm, ta nói phương trình vô nghiệm hoặc tập nghiêm là rỗng.
+ Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)
- Phương trình nhiều ẩn
Chẳng hạn:
3x+2y=x2−2xy+83x+2y=x2−2xy+8 (Phương trình hai ẩn xx và yy)
4×2−xy+2z=3z2+2xz+y24x2−xy+2z=3z2+2xz+y2 (Phương trình ba ẩn x,yx,y và zz)
- Phương trình chứa tham số
Chẳng hạn: (m+1)x−3=0(m+1)x−3=0 (Phương trình ẩn xx chứa tham số mm)
Phương trình tương đương và Phương trình hệ quả
Phương trình trương đương
Hai phương trình
f1(x) = g1(x)f1(x) = g1(x) (1)
f2(x) = g2(x)f2(x) = g2(x) (2)
được gọi là tương đương, kí hiệu f1(x)=g1(x)⇔f2(x)=g2(x)f1(x)=g1(x)⇔f2(x)=g2(x) nếu các tập nghiệm của (1) và (2) bằng nhau.
Định lí:
a) Nếu h(x)h(x) là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình f(x)=g(x)f(x)=g(x) thì
f(x)+h(x)=g(x)+h(x)f(x)+h(x)=g(x)+h(x)⇔f(x)=g(x)⇔f(x)=g(x).
b) Nếu h(x)h(x) thỏa mãn ĐKXĐ và khác 00 với mọi xx thỏa mãn ĐKXĐ thì
f(x).h(x)=g(x).h(x)⇔f(x)=g(x)f(x).h(x)=g(x).h(x)⇔f(x)=g(x)
f(x)h(x)=g(x)h(x)⇔f(x)=g(x)f(x)h(x)=g(x)h(x)⇔f(x)=g(x).
- Phương trình hệ quả
Phương trình f2(x) = g2(x)f2(x) = g2(x) là phương trình hệ quả của phương trình f1(x) = g1(x)f1(x) = g1(x), kí hiệu
f1(x)=g1(x)f1(x)=g1(x) ⇒⇒f2(x)=g2(x)f2(x)=g2(x)
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.
Ví dụ: 2x=3−x⇒(x−1)(x+2)=02x=3−x⇒(x−1)(x+2)=0.
Luyện tập
Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Đại cương về phương trình
Câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 53: Nêu ví dụ về phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn
Đáp án:
Phương trình một ẩn: 2x + 4 = 0
Phương trình hai ẩn: 3x + 7y = 10
Câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 54: Cho phương trình
Khi x = 2 vế trái của phương trình đã cho có nghĩa không ? Vế phải có nghĩa khi nào ?
Đáp án:
Khi x = 2 vế trái của phương trình đã cho không có nghĩa do mẫu bằng 0
Vế phải có nghĩ khi x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
Câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 54: Hãy tìm điều kiện của các phương trình
Đáp án:
a) ĐKXĐ: 2 – x > 0 ⇔ x < 2
Câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 55: Các phương trình sau có tập nghiệm bằng nhau hay không
a) x2 + x = 0 và 4x/(x-3) + x = 0 ?
b) x2 – 4 = 0 và 2 + x = 0 ?
Đáp án:
a) x2 + x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1
Tập nghiệm của phương trình là S = {0;-1}
* 4x/(x-3) + x = 0 ĐKXĐ: x ≠ 3
⇒ 4x + x(x – 3) = 0
⇔ x2 + x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1
Tập nghiệm của phương trình là S={0;-1}
Vậy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm.
b) x2 – 4 = 0 ⇔ x = ±2
Tập nghiệm của phương trình là S = {2;-2}
* 2 + x = 0 ⇔ x = -2
Tập nghiệm của phương trình là S ={-2}
Vậy hai phương trình trên không cùng tập nghiệm.
Câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 1 trang 56: Tìm sai lầm trong phép biến đổi sau
Đáp án:
Phép biến đổi đầu tiên không tương đương do biểu thức 1/(x-1) chưa có điều kiện xác định (chỉ được dùng dấu suy ra trong phép biến đổi này)
Bài 1 (trang 57 SGK Đại số 10): Cho hai phương trình:
3x = 2 và 2x = 3
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi:
a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?
b) Phương trình đã cho có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?
Đáp án:
Phương trình 3x = 2 (1) có nghiệm x = 2/3
Phương trình 2x = 3 (2) có nghiệm x = 3/2
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình (1) và (2) ta được phương trình
3x + 2x = 2 + 3 hay 5x = 5 (3) có nghiệm x = 1.
a) Phương trình (3) không tương đương với phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì không có cùng tập nghiệm.
b) Phương trình (3) không phải phương trình hệ quả của phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì nghiệm của (1) và (2) đều không phải nghiệm của (3).
Chúc các bạn học và thi tốt!
Bài viết liên quan: